算法科普：什么是约瑟夫环

1 问题描述

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知 n 个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为 k 的人开始报数，数到 m 的那个人出圈；他的下一个人又从 1 开始报数，数到 m 的那个人又出圈；依此规律重复下去，直到剩余最后一个胜利者。

例如：有10个人围成一圈进行此游戏，每个人编号为 1-10 。若规定数到 3 的人出圈。则游戏过程如下。

（1）开始报数，第一个数到 3 的人为 3 号，3 号出圈。
1， 2，【3】， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10。
（2）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为6号，6号出圈。
1， 2，【3】， 4， 5，【6】， 7， 8， 9， 10。
（3）从7号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为9号，9号出圈。
1， 2，【3】， 4， 5，【6】， 7， 8，【9】， 10。
（4）从10号重新从1开始计数，由于10个人称环形结构，则接下来数到3的人为2号，2号出圈。
1，【2】，【3】， 4， 5，【6】， 7， 8，【9】， 10。
（5）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为7号，7号出圈。
1，【2】，【3】， 4， 5，【6】，【7】， 8，【9】， 10。
（6）从8号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为1号，1号出圈。
【1】，【2】，【3】， 4， 5，【6】，【7】， 8，【9】， 10。
（7）从4号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为8号，8号出圈。
【1】，【2】，【3】， 4， 5，【6】，【7】，【8】，【9】， 10。
（8）从10号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为5号，5号出圈。
【1】，【2】，【3】， 4，【5】，【6】，【7】，【8】，【9】， 10。
（9）从10号重新从1开始计数，则接下来数到3的人为10号，10号出圈。
【1】，【2】，【3】， 4，【5】，【6】，【7】，【8】，【9】，【10】。
（10）最终剩余 4 号，4 号为胜利者。

2 数组求解

2.1 解题思想

用数组求解的基本思想就是用一个一维数组去标识这 n 个人的状态，默认全为 1 ，也就是都在圈子内，当数到 m的人出圈之后，标识置为 0（就是出圈了），同时报数器清 0，下一个人要从 1 开始。在每次报数之前要判断他是否在圈子内（也就是他的标识是否为 1 ），如果在圈子里面才会继续报数。定义一个变量记录出圈的人数，出圈的人数等于 n-1 时，则游戏结束。

2.2 代码实现

#include<stdio.h>
#define N 1000000 //记录玩游戏最大人数
int flag【N】 = {0};
int main()
{
    int n = 0, m = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);//输入玩游戏人数和计数m
    int i = 0;
    int count = 0;  //记录已经出圈的人数
    int num = 0;    //报数器
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        flag【i】 = 1;//所有人入圈
    }
    while(count < n - 1) {
        for(i = 1; i <= n; i++ ) {
            if (1 == flag【i】) {//在未出圈的人数中计数
                num++;
                if(num == m) {//此人数到m则出圈
                    printf("%dn", i);
                    count++;//出圈人数加1
                    flag【i】 = 0;//出圈
                    num = 0;
                }
                if(count == n - 1) {
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        if(1 == flag【i】) {//输出赢家，标识为1
            printf("The last one is : %dn", i);
        }
    }
    return 0;
}

3 循环链表求解

3.1 解题思想

约瑟夫环问题可以转化为循环链表的数据结构来求解。可以将每个人看做链表的单个节点，每个节点之间通过链表的 next 指针连接起来，并且将链表末尾节点指向头节点就形成的环，由链表构成的环形结构在数据结构中称为循环链表。

3.2 代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/*声明一个链表节点*/
typedef struct node  
{
    int number;//数据域，存储编号数值
    struct node *next;//指针域，指向下一个节点
}Node;

/*创建链表节点的函数*/ 
Node* CreatNode(int x) 
{
    Node *p;
    p = (Node*)malloc(sizeof(Node));
    p->number = x;//将链表节点的数据域赋值为编号
    p->next = NULL;
    return p;
}

/*创建环形链表，存放整数1到n*/
Node* CreatJoseph(int n) 
{
    Node *head,*p,*q;
    int i;
    for(i = 1;  i <= n; i++)
    {
        p = CreatNode(i);//创建链表节点，并完成赋值
        if(i == 1)//如果是头结点
            head = p;
        else//不是头结点，则指向下一个节点
            q->next = p;
            q = p;
    }
    q->next = head;//末尾节点指向头结点，构成循环链表
    return head;
}

/*模拟运行约瑟夫环，每数到一个数，将它从环形链表中删除，并打印出来*/
void RunJoseph(int n,int m) 
{
    Node *p,*q;
    p = CreatJoseph(n);//创建循环链表形式的约瑟夫环
    int i;
    while(p->next != p)//循环条件，当前链表数目大于1
    {
        for(i = 1; i < m-1; i++)//开始计数
        {
            p = p->next;
        }
        //第m个人出圈
        q = p->next;
        p->next = q->next;
        p = p->next;
        printf("%d--",q->number);//输出出圈的序号
        free(q);
    }
    printf("n最后剩下的数为：%dn",p->number);
}

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    RunJoseph(n,m);
    return 0;
}

4 递推公式求解

4.1 解题思想

约瑟夫环中，每当有一个人出圈，出圈的人的下一个人成为新的环的头，相当于把数组向前移动 m 位。若已知 n-1 个人时，胜利者的下标位置位 f(n−1,m) ，则 n 个人的时候，就是往后移动 m 位，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模 n )，根据此推导过程得到的计算公式为：
f(n,m) = (f(n−1,m) + m) % n。
其中，f(n,m) 表示 n 个人进行报数时，每报到 m 时杀掉那个人，最终的编号，f(n−1,m) 表示，n-1 个人报数，每报到 m 时杀掉那个人，最终胜利者的编号。有了递推公式后即可使用递归的方式实现。

4.2 递归代码实现

#include <stdio.h>
int Joseph(int n,int m)/*计算约瑟夫环的递归函数*/
{
    if(n <= 1 || m <= 1)//设置游戏人数限定值
        return -1;

    if(n == 2)//设置边界值
    {
        if(m % 2 == 0)
            return 1;
        else
            return 2;
    }
    else
    {
        return (Joseph(n-1,m) + m-1) % n+1;//递归调用
    }
}

int main()
{
    int n,m,x;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    x=Joseph(n,m);
    printf("最后一个数为：%dn",x);
    return 0;
}

4.3 迭代代码实现

#include <stdio.h>
/*计算约瑟夫环问题的迭代法函数*/
int Joseph(int n,int m)
{
    int i;
    int x,y;
    if(n <= 1 || m <= 1)
        return -1;
    if(m % 2 == 0)
        y = 1;
    else
        y = 2;

    for(i = 3; i <= n; i++)
    {
        x = (y-1 + m) % i + 1;
        y = x;
    }
    return y;
}

int main()
{
    int n,m,x;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    x = Joseph(n,m);
    printf("最后一个的编号是：%dn",x);
    return 0;
}