数据结构与算法——图论基础与图存储结构

1 前言

由于后续更新「面试专场」的好几篇文章都涉及到图这种数据结构，因此打算先普及一下图的相关理论支持，如果后面的相关内容有些点不太容易理解，可以查阅此篇文章。本文不建议一口气阅读完毕，可以先浏览一遍，在后续有需要的时候进行查阅即可。

2 图

图是数据结构中重要内容。相比于线性表与树，图的结构更为复杂。在线性表的存储结构中，数据直接按照前驱后继的线性组织形式排列。在树的结构中，数据节点以层的方式排列，节点与节点之间是一种层次关系。但是，在图的结构中数据之间可以有任意关系，这就使得图的数据结构相对复杂。

2.1 定义

定义：图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E），其中，G表示一个图，V 是图 G 中顶点的集合，E 是图 G 中边的集合。

例如：图 2.1 所示图

在图 2.1 中，共有 V₀，V₁，V₂，V₃ 这 4 个顶点，4 个顶点之间共有 5 条边。

注：

当线性表没有数据节点时，线性表为空表。
树中没有节点时，树为空树。
但是，在图中不允许没有顶点，但是可以没有边。

2.2 无向边

无向边：若顶点 x 和 y 之间的边没有方向，则称该边为无向边(x,y)，(x,y) 与 (y,x) 意义相同，表示 x 和 y 之间有连接。
图 2.2 所示图中的边均为无向边。

2.3 有向边

有向边：若顶点 x 和 y 之间的边有方向，则称该边为有向边，与表示的意义是不同的，表示从 x 连接到 y ，x 称为尾，y 称为头。表示从 y 连接到 x ，y 称为尾， x 称为头。
图2.3所示图中的边为有向边。

2.4 无向图

无向图：若图中任意两个顶点之间的边均是无向边，则称该图为无向图。
图2.2所示图为无向图。

2.5 有向图

有向图：若图中任意两个顶点之间的边均是有向边，则称该图为有向图。
图2.3所示的图为有向图。

2.6 顶点与顶点的度

顶点的度：

顶点 V 的度是和 V 相关联的边的数目，记为TD(V)。

图 2.6 所示图中，V₀ 顶点的度为 3 。

入度：

以顶点v为头的边的数目，记为ID(V)。

图2.6所示图中，V₀的入度为1。

出度：

以顶点 v 为尾的边的数目，记为 OD(V)。

图2.6所示图中，V₀的出度为2。

顶点的度 = 入度 + 出度。

即 TD(V) = ID(V) + OD(V)。

2.7 邻接

邻接是两个顶点之间的一种关系。如果图包含（u,v），则称顶点 v 与顶点 u 邻接。在无向图中，这也暗示了顶点 u 也与顶点 v 邻接。换句话说，在无向图中邻接关系是对称的。

2.8 路径

路径：在图中，依次遍历顶点序列之间的边所形成的轨迹。
例如：在图 2.8 中所示图中依次访问顶点 V0 、V3 和 V2 ，则构成一条路径。

3 完全图

完全图：每个顶点都与其他顶点相邻接的图。

无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。（含有n个顶点的无向完全图有(n×(n-1))/2条边）
图 3.1 所示的图为无向完全图。

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条边，则称该图为有向完全图。（含有 n 个顶点的有向完全图有 n×(n-1) 条边）

图3.2所示的图为有向完全图。

4 连通图

在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v’ 有路径，则称 v 和 v’ 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 vi 、vj ∈E， vi，和vj都是连通的，则称 G 是连通图，否则图为非连通图。
例如：图4.1所示图，图中顶点A、B、C、D是连通的，但是其中任一顶点与顶点E或者顶点F之间没有路径，因此图4.1中所示的图为非连通图。

若添加顶点B与顶点F之间的邻接边，则图变为连通图，如图4.2所示：

5 数组存储

图的数组存储方式也称为邻接矩阵存储。图中的数据信息包括：顶点信息和描述顶点之间关系的边的信息，将这两种信息存储在数组中即为图的数组存储。
首先，创建顶点数组，顶点数组中存储的是图的顶点信息，采用一维数组的方式即可存储所有的顶点信息。存储图中边的信息时，由于边是描述顶点与顶点之间关系的信息，因此需要采用二维数组进行存储。

定义：设图 G 有 n 个顶点，则邻接矩阵是一个n X n的方阵A，定义为：

其中，或者(Vi , Vj,)表示顶点 Vi 与顶点 Vj 邻接。wi,j表示边的权重值。

例如：下图所示的无向图，采用数组存储形式如下。

注：图中的数组存储方式简化了边的权值为 1 。

无向图的数组存储主要有以下特性：

（1）顶点数组长度为图的顶点数目n。边数组为n X n的二维数组。
（2）边数组中，A[i][j] =1代表顶点i与顶点j邻接，A[i][j] = 0代表顶点i与顶点j不邻接。
（3）在无向图中。由于边是无向边，因此顶点的邻接关系是对称的，边数组为对称二维数组。
（4）顶点与自身之间并未邻接关系，因此边数组的对角线上的元素均为0。
（5）顶点的度即为顶点所在的行或者列1的数目。例如：顶点V2的度为3，则V2所在行和列中的1的数目为3。

当图为有向图时，图的数组存储方式要发生变化。
例如：图5.2所示的有向图，采用数组存储形式如下。

有向图的数组存储主要有以下特性：

（1）顶点数组长度为图的顶点数目n。边数组为n X n的二维数组。
（2）边数组中，数组元素为1，即A[i][j] = 1,代表第i个顶点与第j个顶点邻接，且i为尾，j为头。 A[i][j] = 0代表顶点与顶点不邻接。
（3）在有向图中，由于边存在方向性，因此数组不一定为对称数组。
（4）对角线上元素为0。
（5）第i行中，1的数目代表第i个顶点的出度。例如：顶点V1的出度为2，则顶点V1所在行的1的数目为2。
（6）第j列中，1的数目代表第j个顶点的入度。例如：V3的入度为1，则V3所在列中1的数目为1。

数组存储方式优点：
数组存储方式容易实现图的操作。例如：求某顶点的度、判断顶点之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等等。
数组存储方式缺点：
采用数组存储方式，图若有n个顶点则需要n2个单元存储边(弧)，空间存储效率为O(n2)。当顶点数目较多，边数目较少时，此时图为稀疏图，这时尤其浪费空间。
例如：图5.3所示的图，图中有 9 个顶点，边数为10，需要 9X9 的二维数组，而实际存储边信息空间只有10，造成空间浪费。

图5.3所示无向图的存储数组：

6 邻接表

当使用数组存储时，主要有以下三个问题：

（1）对于一个图，若图中的顶点数目过大，则无法使用邻接矩阵进行存储。因为在分配数组内存时可能会导致内存分配失败。
（2）对于某些稀疏图（即顶点数目多，边数目少），创建的数组大小很大，而真正存储的有用信息又很少，这就造成了空间上的浪费。
（3）有时两个点之间不止存在有一条边，这是用邻接矩阵就无法同时表示两条以上的边。

针对以上情况，提出了一种特殊的图存储方式，让每个节点拥有的数组大小刚好就等于它所连接的边数，由此建立一种邻接表的存储方式。

邻接表存储方法是一种数组存储和链式存储相结合的存储方法。在邻接表中，对图中的每个顶点建立一个单链表，第 i 个单链表中的结点依附于顶点 Vi 的边（对有向图是以顶点Vi为尾的弧）。链表中的节点称为表节点，共有 3个域，具体结构见下图：

表结点由三个域组成，adjvex存储与Vi邻接的点在图中的位置，nextarc存储下一条边或弧的结点，data存储与边或弧相关的信息如权值。

除表节点外，需要在数组中存储头节点，头结点由两个域组成，分别指向链表中第一个顶点和存储Vi的名或其他信息。具体结构如下图：

其中，data域中存储顶点相关信息，firstarc指向链表的第一个节点。
无向图采用邻接表方式存储
例如：图6.1所示的无向图采用邻接表存储。

采用邻接表方式存储图 6.1 中的无向图，绘图过程中忽略边节点的info信息，头结点中的 data 域存储顶点名称。以V1顶点为例，V1顶点的邻接顶点为V2、V3、V4，则可以创建3个表节点，表节点中adjvex分别存储V2、V3、V4的索引1、2、3，按照此方式，得到的邻接表为：

无向图的邻接表存储特性：

（1）数组中头节点的数目为图的顶点数目。
（2）链表的长度即为顶点的度。例如：V1顶点的度为3，则以V1为头节点的链表中表节点的数目为3。

有向图采用邻接表方式存储
例如：图 6.3 所示的有向图采用邻接表存储。

采用邻接表方式存储图6.3中的有向图，绘图过程中忽略边节点的info信息，头结点中的data域存储顶点名称。以V1顶点为例，V1顶点的邻接顶点为V2、V3、V4，但是以V1顶点为尾的边只有两条，即和因此，创建2个表节点。表节点中adjvex分别存储V3、V4的索引2、3，按照此方式，得到的邻接表为：

有向图的邻接表存储特性：

（1）数组中表节点的数目为图的顶点数目。
（2）链表的长度即为顶点的出度。例如V1的出度为2，V1为头节点的链表中，表节点的数目为2。
（3）顶点Vi的入度为邻接表中所有adjvex值域为i的表结点数目。例如：顶点V3的入度为4，则链表中所有adjvex值域为2的表结点数目为4。

注：图采用邻接表的方式表示时，其表示方式是不唯一的。这是因为在每个顶点对应的单链表中，各边节点的链接次序可以是任意的，取决于建立邻接表的算法以及边的输入次序。

7 逆邻接表

在邻接表中，可以轻易的得出顶点的出度，但是想要得到顶点的入度，则需要遍历整个链表。为了便于确定顶点的入度，可以建立有向图的逆邻接表。逆邻接表的建立与邻接表相反。
采用逆邻接表的方式存储图3.2所示的无向图。以V3顶点为例，V3顶点的邻接顶点为V1、V2、V4、V5，以V3顶点为头的边有4条，即、、、因此，创建4个表节点。表节点中adjvex分别存储V0、V1、V3、V4的索引0、1、3、4，按照此方式，得到的逆邻接表为：

8 十字链表

对于有向图而言，邻接链表的缺陷是要查询某个顶点的入度时需要遍历整个链表，而逆邻接链表在查询某个顶点的出度时要遍历整个链表。为了解决这些问题，十字链表将邻接链表和逆邻接链表综合了起来，而得到的一种十字链表。在十字链表中，每一条边对应一种边节点，每一个顶点对应为顶点节点。

顶点节点
顶点节点即为头节点，由3个域构成，具体形式如下：

其中，data域存储与顶点相关的信息，firstin和firstout分别指向以此顶点为头或尾的第一个边节点。
边节点
在边节点为链表节点，共有 5 个域，具体形式如下：

其中，尾域tailvex和头域headvex分别指向尾和头的顶点在图中的位置。链域hlink指向头相同的下一条边，链域tlink指向尾相同的下一条边。info 存储此条边的相关信息。
例如：图8.1所示的有向图，采用十字链表存储图方式。

采用十字链表的方式存储图8.1中的有向图，绘图过程忽略边节点中的info信息，表头节点中的data域存储顶点名称。以V1顶点为例，顶点节点的data域存储V1顶点名，firstin存储以V1顶点为头第一个边节点，以V1顶点为头边为，firstout存储以以V1顶点为尾第一个边节点，对应边为。按照此规则，得到的十字链表存储为：