图解 LeetCode 第 421 题:数组中两个数的最大异或值

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图解 LeetCode 第 421 题:数组中两个数的最大异或值

本文为读者投稿,作者 | 李威

经作者授权转载,来源 |https://www.liwei.party

今天分享的题目来源于 LeetCode 第 421 号问题:数组中两个数的最大异或值。在 异或 这个知识点里面属于一个中高难度的题目。

题目描述

给定一个非空数组,数组中元素为 a0, a1, a2, … , an-1,其中 0 ≤ ai < 231

找到 ai 和 aj 最大的异或 (XOR) 运算结果,其中0 ≤ i,  j < n 。

你能在 O(n) 的时间解决这个问题吗?

示例:

输入: [3, 10, 5, 25, 2, 8]

输出: 28

解释: 最大的结果是 5 ^ 25 = 28.

题目解析

解决这个问题,我们首先需要利用异或运算的一个性质:

如果 a ^ b = c 成立,那么a ^ c = bb ^ c = a 均成立。

如果有三个数,满足其中两个数的异或值等于另一个值,那么这三个数的顺序可以任意调换

  • 那么如何理解这个性质呢?因为异或运算其实就是二进制下不进位的加法,你不妨自己举几个例子,在草稿纸上验证一下。

那这个性质如何应用到本题呢?

这道题找最大值的思路是这样的:因为两两异或可以得到一个值,在所有的两两异或得到的值中,一定有一个最大值,我们推测这个最大值应该是什么样的?即根据“最大值”的存在性解题(一定存在)。在这里要强调一下:

我们只用关心这个最大的异或值需要满足什么性质,进而推出这个最大值是什么,而不必关心这个异或值是由哪两个数得来的。

(上面这句话很重要,如果读者一开始看不明白下面的思考,不妨多看几遍我上面写的这句话。)

于是有如下思考:

1、二进制下,我们希望一个数尽可能大,即希望越高位上越能够出现“1”,这样这个数就是所求的最大数,这是贪心算法的思想。

2、于是,我们可以从最高位开始,到最低位,首先假设高位是 “1”,把这 n 个数全部遍历一遍,看看这一位是不是真的可以是“1”,否则这一位就得是“0”,判断的依据是上面“异或运算的性质”,即下面的第 3 点;

3、如果 a ^ b = max 成立 ,max 表示当前得到的“最大值”,那么一定有 max ^ b = a 成立。我们可以先假设当前数位上的值为 “1”,再把当前得到的数与这个 n 个数的 前缀(因为是从高位到低位看,所以称为“前缀”)进行异或运算,放在一个哈希表中,再依次把所有 前缀 与这个假设的“最大值”进行异或以后得到的结果放到哈希表里查询一下,如果查得到,就说明这个数位上可以是“1”,否则就只能是 0(看起来很晕,可以看代码理解)。

一种极端的情况是,这 n 个数在某一个数位上全部是 0 ,那么任意两个数异或以后都只能是 0,那么假设当前数位是 1 这件事情就不成立。

4、如何得到前缀,可以用掩码(mask),掩码可以进行如下构造,将掩码与原数依次进行“与”运算,就能得到前缀。

10000000000000000000000000000000
11000000000000000000000000000000
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11111111111111111111111111111000
11111111111111111111111111111100
11111111111111111111111111111110
11111111111111111111111111111111

以题目中的数组 [3, 10, 5, 25, 2, 8] 为例,下面讲解这个最大的两两异或值是如何得到的,这里为了方便演示,只展示一个数二进制的低 8 位。

图片演示

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LeetCode 第 421 题:数组中两个数的最大异或值-1


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代码实现

Python 代码:

class Solution:
    def findMaximumXOR(self, nums: List[int]) -> int:
        res = 0
        mask = 0
        for i in range(31-1-1):
            mask |= (1 << i)

            # 当前得到的所有前缀都放在这个哈希表中
            s = set()
            for num in nums:
                s.add(mask & num)

            # 先“贪心地”假设这个数位上是 “1” ,如果全部前缀都看完,都不符合条件,这个数位上就是 “0” 
            temp = res | (1 << i)

            for prefix in s:
                if temp ^ prefix in s:
                    res = temp
                    break
        return res

Java 代码:

import java.util.HashSet;
import java.util.Set;

public class Solution {

    // 先确定高位,再确定低位(有点贪心算法的意思),才能保证这道题的最大性质
    // 一位接着一位去确定这个数位的大小
    // 利用性质:a ^ b = c ,则 a ^ c = b,且 b ^ c = a

    public int findMaximumXOR(int[] nums) {
        int res = 0;
        int mask = 0;
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            // 注意点1:注意保留前缀的方法,mask 是这样得来的
            // 用异或也是可以的 mask = mask ^ (1 << i);
            mask = mask | (1 << i);

            // System.out.println(Integer.toBinaryString(mask));
            Set<Integer> set = new HashSet<>();
            for (int num : nums) {
                // 注意点2:这里使用 & ,保留前缀的意思(从高位到低位)
                set.add(num & mask);
            }

            // 这里先假定第 n 位为 1 ,前 n-1 位 res 为之前迭代求得
            int temp = res | (1 << i);
            for (Integer prefix : set) {
                if (set.contains(prefix ^ temp)) {
                    res = temp;
                    break;
                }
            }
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] nums = {31052528};
        Solution2 solution2 = new Solution2();
        int maximumXOR = solution2.findMaximumXOR(nums);
        System.out.println(maximumXOR);
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:𝑂(𝑁),把整个数组看了 32次,即 𝑂(32𝑁)=𝑂(𝑁)。
  • 空间复杂度:𝑂(1),使用了一个哈希表,这个哈希表最多存 32 个前缀,𝑂(32)=𝑂(1)。

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