初识广度优先搜索与解题套路

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初识广度优先搜索与解题套路

作者 | P.yh

来源 | 五分钟学算法

初识广度优先搜索

在讲解广度优先搜索之前,我们来看看几个常见的数据结构,链表、树、图

先来看看其中比较简单的数据结构 – 链表,它和数组类似,也是一个线性的结构,简单来说就是一条路径,你从头开始遍历,最终会将链表上面的节点都访问到,到达终点。

相比数组来说,链表在内存中的存储可以不是一段连续的区域

链表节点中会有一个变量用来指明其下一个节点,将链表的表示用代码写出来,就会是下面这样:

class ListNode {
    int val;
    ListNode next;
}

其中 val 表示的是这个节点上面值,next 表示的是这个节点的下一个节点。

讲完链表,我们来看看另外一个数据结构 – 二叉树,它其实是链表的一个延伸,这里,一个节点的下一个节点不再只有一个节点了,可能会有两个节点,如果把树的结构用代码表示出来,就会是:

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode leftright;
}

你可能会问,多叉树如何表示呢?这个也简单,一个树节点会有多个子节点:

class TreeNode {
    int val;
    List<TreeNode> children;
}

不管是两个节点还是多个节点,树当中是有层级关系的,就是 parent 和 children 的关系。

对于一般的树结构来说,一个节点内只会保存其 children 的信息,不会保存其 parent 的信息,给你一个树节点,你只会往其 children 的方向走,也就是说,树的遍历其实是有方向性的

最后我们来看看图,图的话分为有向图和无向图,树其实是算有向图当中的一种,有向无向,主要是看边,如果两个节点连在一起,它们之间是互通的话就是无向图,如果只能从一个节点到另一个节点,反之可能不行,那就是有向图,不管是有向图还是无向图,在代码中,我们都可以表示下面这样:

class GraphNode {
    int val;
    List<Integer> neighbors;
}

这不就是前面多叉树的表示方法吗?没错,但是图中的关系不再是 parent 和 children 的关系了,而是邻居的关系,这里也没有层级结构了,每个节点都是平等的

讲完了这几个数据结构,我们再回过头来看看广度优先搜索这个算法,这个算法经常被用在树上和图上,我们来思考一下这个问题,如果给你一个连通图上的一个节点,如何才能得到图上所有的节点呢?

这个思路其实很简单。

首先我们知道,我们可以把给定节点和其邻居加入到答案中,但是邻居还有邻居,因此我们还是得继续这个过程,直到把所有的点都找到,这之中我们可能会遇到一种情况就是,我们访问到了之前找到过的点,因此,这里我们还需要一个判重的机制。

这里有一点是,每个点只可能找到其邻居,也就是说只会往其周围的点找,一次只向外扩散一格,解决广度优先搜索问题,我们会使用队列这么一个 FIFO 的数据结构,这不难理解,先找到的点我们先考虑其邻居。

问题分类

上面我们简单介绍了一下广度优先搜索这个算法,那么它可以用来解决什么样的问题呢?

  • 层级遍历
  • 由点到面遍历图
  • 拓扑排序
  • 求最短路径

我们一个一个来讲解,首先是层级遍历,前面讲过,每个节点只会找到其周围的节点,你可以想象成当前层的节点只可能找到下一层的节点(前一层遍历过不考虑),因此我们可以把一层找到的东西放在一起,这也就是用层这个概念对找到的所有节点进行归类。

第二点是遍历图,其实就是上面中的例子“给定连通图上面的一个节点,需要找到这个图中的所有节点”,你可能会问,遍历整个图有什么用呢?如果我们知道来所有节点的数量,其实通过遍历整个图我们还可以判断一个图的连通性,如果从一个点出发找不到某些点,那么说明其实这不是一个连通的图,有些节点不在图上,被分开了。

第三点是拓扑排序,这里可以参考我之前写的一篇文章 拓扑排序原理和习题分析。

第四点,也是比较常用的就是找出图上两点的最短路径,当然这里是有条件的,就是这个图必须是简单的连通图,什么是简单图,就是边没有权重,或者说权重都为固定的值。从一个点出发,找到下一层的所有点,从下一层的点出发,找到下下层的所有点,每到一层就算走一步,当我们找到我们要找的点,此时的步数就是最后的答案。

对于广度优先搜索的时间和空间复杂度的分析也是比较简单,一般问题都需要遍历整个图,因此时间复杂度是 O(N + M),空间复杂度是 O(N),这里的 N 表示的是节点的总数量,M 表示的是边的数量,有些图中,比如说全连通图(M = N^2),我们遍历的时候,会尝试去走所有的边,对于空间来说的话,一般只会记录访问过的节点和当前层的节点,不会去考虑边的情况,因此时间复杂度和空间复杂度在这里还是不太一样的。

LeetCode 常见题目

二叉树的锯齿形层次遍历

常见题目一来源于 LeetCode 上第 103 号问题:二叉树的锯齿形层次遍历。题目难度为 Medium,目前通过率为 43.8% 。

题目描述

给定一个二叉树,返回其节点值的锯齿形层次遍历。(即先从左往右,再从右往左进行下一层遍历,以此类推,层与层之间交替进行)。

例如:
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7],

    3
   / 
  9  20
    /  
   15   7

返回锯齿形层次遍历如下:

[
  [3],
  [20,9],
  [15,7]
]

题目分析

考察上面提到的第一点,层级遍历

这道题其实是树的层级遍历的变形,我们需要记录每一层的信息,但是记录的顺序有区分,第一层从左向右记录,第二层反过来,从右向左记录,第三层从左向右记录,。。。,

你可以看到每一层的记录方向和上下层都不一样,是一种交错的形式,当然我们可以都从左向右记录,然后到特定的层就把记录的结果给反转一下,但是这里有一个小技巧就是,我们都是从左向右记录,但是记录方式不一样,一种记录方式是从列表的尾部加入,另一种是从链表的头部加入

在树上的遍历相对来说比较简单,因为树的遍历是有方向性的,这个方向性确保了我们不会访问到我们之前访问过的节点,因此,这里我们不需要使用 Set 或者 boolean 数组去帮助去重。

参考代码

public List<List<Integer>> zigzagLevelOrder(TreeNode root) {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    if (root == null) {
        return result;
    }

    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();

    queue.offer(root);

    boolean isReverse = false;
    while (!queue.isEmpty()) {
        int size = queue.size();

        List<Integer> curLevel = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < size; ++i) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            if (cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }

            if (cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }

            if (isReverse) {
                curLevel.add(0, cur.val);
            } else {
                curLevel.add(cur.val);
            }
        }

        isReverse = !isReverse;

        result.add(curLevel);
    }

    return result;
}

以图判树

常见题目二来源于 LeetCode 上第 261 号问题:以图判树。

题目描述

给定从 0 到 n-1 标号的 n 个结点,和一个无向边列表(每条边以结点对来表示),请编写一个函数用来判断这些边是否能够形成一个合法有效的树结构。

示例 1:

输入: n = 5, 边列表 edges = [[0,1], [0,2], [0,3], [1,4]]
输出: true

示例 2:

输入: n = 5, 边列表 edges = [[0,1], [1,2], [2,3], [1,3], [1,4]]
输出: false

注意:你可以假定边列表 edges 中不会出现重复的边。由于所有的边是无向边,边 [0,1] 和边 [1,0] 是相同的,因此不会同时出现在边列表 edges 中。

题目分析

考察第二点,由点及面遍历图。首先需要知道的问题是,如何判断一个树是不是有效的? 这里有两点,第一就是树上是没有环的,怎样才能确定其无环呢?如果你画出一个树,你就会发现,不管怎么画,其节点数和边的数量都是 n – 1 = edges 的关系,那么有这一点是不是就够了,并不是,我们还需要判断连通性,也就是说从一个节点出发,可以遍历到所有的点,满足这两个条件的图才能算是树。

参考代码

public boolean validTree(int n, int[][] edges{        
    if (n - 1 != edges.length) {
        return false;
    }

    Map<Integer, Set<Integer>> graph = new HashMap<>();

    buildGraph(graph, edges, n);

    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    Set<Integer> visited = new HashSet<>();

    queue.offer(0);

    while (!queue.isEmpty()) {
        int cur = queue.poll();

        if (!visited.add(cur)) {
            return false;
        }

        for (int nei : graph.get(cur)) {
            queue.offer(nei);

            graph.get(nei).remove(cur);
        }
    }

    return visited.size() == n;
}

private void buildGraph(Map<Integer, Set<Integer>> graph, int[][] edges, int n{
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        graph.put(i, new HashSet<Integer>());
    }

    for (int[] edge : edges) {
        graph.get(edge[0]).add(edge[1]);
        graph.get(edge[1]).add(edge[0]);
    }
}

总结

广度优先搜索就说到这里,这里我没有列出很多的题目,理解算法本身,及其适合解决的问题是关键,广度优先搜索主要适合解决层级遍历、由点及面遍历图、拓扑排序以及在求在简单图上两点之间的最短距离,理解了这些原理性的东西后,再去刷一些题目去巩固这些知识点,最后才能对这个算法了然于心。

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