漫画算法:辗转相除法是什么鬼?

大四毕业前夕,计算机学院的小灰又一次顶着炎炎烈日,

去某IT公司面试研发工程师岗位……



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半小时后,公司会议室,面试开始……



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小灰奋笔疾书,五分钟后……



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小灰的思路十分简单。他使用暴力枚举的方法,试图寻找到一个合适的整数 i,看看这个整数能否被两个整型参数numberA和numberB同时整除。


这个整数 i 从2开始循环累加,一直累加到numberA和numberB中较小参数的一半为止。循环结束后,上一次寻找到的能够被两数整除的最大 i 值,就是两数的最大公约数。



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事后,垂头丧气的小灰去请教同系的学霸大黄……



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辗转相除法, 又名欧几里得算法(Euclidean algorithm),目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法, 其可追溯至公元前300年前。


这条算法基于一个定理:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25,25除以10商2余5,那么10和25的最大公约数,等同于10和5的最大公约数。



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有了这条定理,求出最大公约数就简单了。我们可以使用递归的方法来把问题逐步简化。


首先,我们先计算出a除以b的余数c,把问题转化成求出bc的最大公约数;然后计算出b除以c的余数d,把问题转化成求出cd的最大公约数;再然后计算出c除以d的余数e把问题转化成求出de的最大公约数……


以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算,直到两个数可以整除,或者其中一个数减小到1为止。


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五分钟后,小灰改好了代码……



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更相减损术, 出自于中国古代的《九章算术》,也是一种求最大公约数的算法。


他的原理更加简单:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数比如10和25,25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数,等同于10和15的最大公约数。


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由此,我们同样可以通过递归来简化问题。首先,我们先计算出ab的差值c(假设a>b),把问题转化成求出bc的最大公约数;然后计算出cb的差值d(假设c>b),把问题转化成求出bd的最大公约数;再然后计算出bd的差值e(假设b>d)把问题转化成求出de的最大公约数……


以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算,直到两个数可以相等为止,最大公约数就是最终相等的两个数。



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五分钟后,小灰重写了代码……



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众所周知,移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b,不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数:


当a和b均为偶数,gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)


当a为偶数,b为奇数,gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)


当a为奇数,b为偶数,gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)


当a和b均为奇数,利用更相减损术运算一次,gcb(a,b) = gcb(b, a-b), 此时a-b必然是偶数,又可以继续进行移位运算。


比如计算10和25的最大公约数的步骤如下:


  1. 整数10通过移位,可以转换成求5和25的最大公约数

  2. 利用更相减损法,计算出25-5=20,转换成求5和20的最大公约数

  3. 整数20通过移位,可以转换成求5和10的最大公约数

  4. 整数10通过移位,可以转换成求5和5的最大公约数

  5. 利用更相减损法,因为两数相等,所以最大公约数是5


在两数比较小的时候,暂时看不出计算次数的优势,当两数越大,计算次数的节省就越明显。



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最后总结一下上述所有解法的时间复杂度:

1.暴力枚举法:时间复杂度是O(min(a, b)))

2.辗转相除法:时间复杂度不太好计算,可以近似为O(log(max(a, b))),但是取模运算性能较差。

3.更相减损术:避免了取模运算,但是算法性能不稳定,最坏时间复杂度为O(max(a, b)))

4.更相减损术与移位结合:不但避免了取模运算,而且算法性能稳定,时间复杂度为O(log(max(a, b)))



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本文原本只写到辗转相除法就终告结束,后来网友们指出还有更优化的解法,看来自己还是才疏学浅,很感谢大家指出问题。另外,方法的参数默认必定是正整数,所以在代码中省去了合法性检查。


文中描述的更相减损术是简化了的方式。在九章算术原文中多了一步验证:如果两数都是偶数,计算差值之前会首先让两个数都折半,使得计算次数更少。这种方法做到了部分优化,但古人似乎没想到一奇一偶的情况也是可以优化的。


由于篇幅所限,本文省略了关于辗转相除法原和更相减损术的原理及证明。其实证明过程并不复杂,细心的同学们也可以自己尝试研究一下。谢谢大家的捧场!




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原文始发于微信公众号(程序员小灰):漫画算法:辗转相除法是什么鬼?

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