漫画:什么是动态规划?(整合版)

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题目:


有一座高度是10级台阶的楼梯,从下往上走,每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。


比如,每次走1级台阶,一共走10步,这是其中一种走法。我们可以简写成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。


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比如,每次走2级台阶,一共走5步,这是另一种走法。我们可以简写成 2,2,2,2,2。


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当然,除此之外,还有很多很多种走法。



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第一种情况:


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第二种情况:


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把思路画出来,就是这样子:



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F(1) = 1;

F(2) = 2; 

F(n) = F(n-1)+F(n-2)(n>=3)



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方法一:递归求解


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由于代码比较简单,这里就不做过多解释了。



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如图所示,相同的颜色代表了方法被传入相同的参数。



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方法二:备忘录算法


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在以上代码中,集合map是一个备忘录。当每次需要计算F(N)的时候,会首先从map中寻找匹配元素。如果map中存在,就直接返回结果,如果map中不存在,就计算出结果,存入备忘录中。



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方法三:动态规划求解


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程序从 i=3 开始迭代,一直到 i=n 结束。每一次迭代,都会计算出多一级台阶的走法数量。迭代过程中只需保留两个临时变量a和b,分别代表了上一次和上上次迭代的结果。 为了便于理解,我引入了temp变量。temp代表了当前迭代的结果值。



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题目二: 国王和金矿


有一个国家发现了5座金矿,每座金矿的黄金储量不同,需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖,要么不挖,不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出,要想得到尽可能多的黄金,应该选择挖取哪几座金矿?



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方法一:排列组合


每一座金矿都有挖与不挖两种选择,如果有N座金矿,排列组合起来就有2^N种选择。对所有可能性做遍历,排除那些使用工人数超过10的选择,在剩下的选择里找出获得金币数最多的选择。


代码比较简单就不展示了,时间复杂度也很明显,就是O(2^N)。



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F(n,w) = 0    (n<=1, w<p[0]);


F(n,w) = g[0]     (n==1, w>=p[0]);


F(n,w) = F(n-1,w)    (n>1, w<p[n-1])  


F(n,w) = max(F(n-1,w),  F(n-1,w-p[n-1])+g[n-1])    (n>1, w>=p[n-1])


其中第三条是补充上去的,原因不难理解。



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方法二:简单递归


把状态转移方程式翻译成递归程序,递归的结束的条件就是方程式当中的边界。因为每个状态有两个最优子结构,所以递归的执行流程类似于一颗高度为N的二叉树。


方法的时间复杂度是O(2^N)。



方法三:备忘录算法


在简单递归的基础上增加一个HashMap备忘录,用来存储中间结果。HashMap的Key是一个包含金矿数N和工人数W的对象,Value是最优选择获得的黄金数。


方法的时间复杂度和空间复杂度相同,都等同于备忘录中不同Key的数量。



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方法四:动态规划


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方法利用两层迭代,来逐步推导出最终结果。在外层的每一次迭代,也就是对表格每一行的迭代过程中,都会保留上一行的结果数组 preResults,并循环计算当前行的结果数组results。


方法的时间复杂度是 O(n * w),空间复杂度是(w)。需要注意的是,当金矿只有5座的时候,动态规划的性能优势还没有体现出来。当金矿有10座,甚至更多的时候,动态规划就明显具备了优势。



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