漫画:有趣的扔鸡蛋问题

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五分钟学算法漫画:有趣的扔鸡蛋问题

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题目:扔鸡蛋问题

2个鸡蛋,从100层楼上往下扔,以此来测试鸡蛋的硬度。比如鸡蛋在第9层没有摔碎,在第10层摔碎了,那么鸡蛋不会摔碎的临界点就是9层。

问:如何用最少的尝试次数,测试出鸡蛋不会摔碎的临界点?



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举个栗子,最笨的测试方法是什么样呢?


把其中一个鸡蛋从第1层开始往下扔。

如果在第1层没碎,换到第2层扔

如果在第2层没碎,换到第3层扔

…….

如果第59层没碎,换到第60层扔

如果第60层碎了,说明不会摔碎的临界点是第59层


在最坏情况下,这个方法需要扔100次。

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方法一:二分法


采用类似于二分查找的方法,把鸡蛋从一半楼层(50层)往下扔。


如果第一枚鸡蛋在50层碎了,第二枚鸡蛋就从第1层开始扔,一层一层增长,一直扔到第49层。


如果第一枚鸡蛋在50层没碎了,则继续使用二分法,在剩余楼层的一半(75层)往下扔……


这个方法在最坏情况下,需要尝试50次。

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方法二:平方根法

如何让第一枚鸡蛋和第二枚鸡蛋的尝试次数尽可能均衡呢?


很简单,做一个平方根运算,100的平方根是10。


因此,我们尝试每10层扔一次,第一次从10层扔,第二次从20层扔,第三次从30层……一直扔到100层。


这样的最好情况是在第10层碎掉,尝试次数为 1 + 9 = 10次。

最坏的情况是在第100层碎掉,尝试次数为 10 + 9 = 19次。



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不过,这里有一个小小的优化点,我们可以从15层开始扔,接下来从25层、35层扔……一直到95层。


这样最坏情况是在第95层碎掉,尝试次数为 9 + 9 = 18次。



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假设最优的尝试次数的x次,为什么第一次扔就要选择第x层呢?


这里的解释会有些烧脑,请小伙伴们坐稳扶好:


假设第一次扔在第x+1层:

如果第一个鸡蛋碎了,那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔,一直扔到第x层。

这样一来,我们总共尝试了x+1次,和假设尝试x次相悖。由此可见,第一次扔的楼层必须小于x+1层。


假设第一次扔在第x-1层:

如果第一个鸡蛋碎了,那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔,一直扔到第x-2层。

这样一来,我们总共尝试了x-2+1 = x-1次,虽然没有超出假设次数,但似乎有些过于保守。


假设第一次扔在第x层:

如果第一个鸡蛋碎了,那么第二个鸡蛋只能从第1层开始一层一层扔,一直扔到第x-1层。

这样一来,我们总共尝试了x-1+1 = x次,刚刚好没有超出假设次数。

因此,要想尽量楼层跨度大一些,又要保证不超过假设的尝试次数x,那么第一次扔鸡蛋的最优选择就是第x层。



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方法三:解方程法

x + (x-1) + (x-2) + … + 1 = 100

这个方程式不难理解:


左边的多项式是各次扔鸡蛋的楼层跨度之和。由于假设尝试x次,所以这个多项式共有x项。


右边是总的楼层数100。



下面我们来解这个方程:


x + (x-1) + (x-2) + … + 1 = 100  转化为


(x+1)*x/2 = 100

最终x向上取整,得到 x = 14

因此,最优解在最坏情况的尝试次数是14次,第一次扔鸡蛋的楼层也是14层


最后,让我们把第一个鸡蛋没碎的情况下,所尝试的楼层数完整列举出来:


14,27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100



举个栗子验证下:


假如鸡蛋不会碎的临界点是65层,那么第一个鸡蛋扔出的楼层是14,27,50,60,69。这时候啪的一声碎了。


第二个鸡蛋继续,从61层开始,61,62,63,64,65,66,啪的一声碎了。


因此得到不会碎的临界点65层,总尝试次数是 6 + 6 = 12 < 14 。


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几点补充:


1.下一期小灰将会讲解如何利用动态规划求出扔鸡蛋问题的通解,不太了解动态规划的小伙伴可以看看小灰之前的五分钟学算法漫画预习下:


五分钟学算法漫画:什么是动态规划?(整合版)


2.本五分钟学算法漫画纯属娱乐,还请大家尽量珍惜当下的工作,切勿模仿小灰的行为哦。




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原文始发于微信公众号(程序员小灰):五分钟学算法漫画:有趣的扔鸡蛋问题

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