一起装逼!开平方的七种算法

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一起装逼!开平方的七种算法

作者 | nash_

来源 | CSDN

sqrt()函数,是绝大部分语言支持的常用函数,它实现的是开方运算;开方运算最早是在我国魏晋时数学家刘徽所著的《九章算术》被提及。今天写了几个函数加上国外大神的几个神级程序带大家领略sqrt的神奇之处。

1、古人算法(暴力法)

原理:从0开始0.00001,000002…一个一个试,直到找到x的平方根,代码如下:

public class APIsqrt {

    static double baoliSqrt(double x) {

        final double _JINGDU = 1e-6;
        double i;
        for (i = 0; Math.abs(x - i * i) > _JINGDU; i += _JINGDU)
            ;
        return i;
    }

    public static void main(String[] args) {
        double x = 3;
        double root = baoliSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }


测试结果:


1.7320509999476947


2、牛顿迭代法


计算机科班出身的童鞋可能首先会想到的是《数值分析》中的牛顿迭代法求平方根。原理是:随意选一个数比如说8,要求根号3,我们可以这么算:

(8 + 3/8) = 4.1875

(4.1875 + 3/4.1875) = 2.4519

(2.4519 + 3/2.4519) = 1.837

(1.837 + 3/1.837) = 1.735

做了4步基本算出了近似值了,这种迭代的方式就是传说中的牛顿迭代法了,代码如下:

public class APIsqrt {

    static double newtonSqrt(double x{

        if (x < 0) {
            System.out.println("负数没事开什么方");
            return -1;
        }
        if (x == 0)
            return 0;

        double _avg = x;
        double last_avg = Double.MAX_VALUE;
        final double _JINGDU = 1e-6;

        while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {
            last_avg = _avg;
            _avg = (_avg + x / _avg) / 2;
        }
        return _avg;
    }

    public static void main(String[] args{
        double x = 3;
        double root = newtonSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }
}

测试结果:

1.7320508075688772


3、暴力-牛顿综合法


原理:还是以根号3为例,先用暴力法讲根号3逼近到1.7,然后再利用上述的牛顿迭代法。虽然没有用牛顿迭代好,但是也为我们提供一种思路。代码如下:

public class APIsqrt {

    static double baoliAndNewTonSqrt(double x{

        if (x < 0) {
            System.out.println("负数没事开什么方");
            return -1;
        }
        if (x == 0)
            return 0;

        double i = 0;
        double _avg;
        double last_avg = Double.MAX_VALUE;
        for (i = 0; i*i < x; i += 0.1);
        _avg = i;

        final double _JINGDU = 1e-6;

        while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {
            last_avg = _avg;
            _avg = (_avg + x / _avg) / 2;
        }
        return _avg;
    }

    public static void main(String[] args{
        double x = 3;
        double root = baoliAndNewTonSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }
}

测试结果:

1.7320508075689423


4、二分开方法


原理:还是以3举例:

(0+3)/2 = 1.5, 1.5^2 = 2.25, 2.25 < 3;

(1.5+3)/2 = 2.25, 2.25^2 = 5.0625, 5.0625 > 3;

(1.5+2.25)/2 = 1.875, 1.875^2 = 3.515625; 3.515625>3;

直到前后两次平均值只差小于自定义精度为止,代码如下:

public class APIsqrt {

    static double erfenSqrt(double x{

        if (x < 0) {
            System.out.println("负数没事开什么方");
            return -1;
        }
        if (x == 0)
            return 0;

        final double _JINGDU = 1e-6;
        double _low = 0;
        double _high = x;
        double _mid = Double.MAX_VALUE;
        double last_mid = Double.MIN_VALUE;

        while (Math.abs(_mid - last_mid) > _JINGDU) {

            last_mid = _mid;
            _mid = (_low + _high) / 2;
            if (_mid * _mid > x)
                _high = _mid;
            if (_mid * _mid < x)
                _low = _mid;

        }
        return _mid;

    }

    public static void main(String[] args{
        double x = 3;
        double root = erfenSqrt(x);
        System.out.println(root);
    }
}

测试结果:

1.732051134109497


5、计算 (int)(sqrt(x))算法


PS:此算法非博主所写


原理:空间换时间,细节请大家自行探究,代码如下:

public class APIsqrt2 {
    final static int[] table = { 01622273235394245485053,
            5557596164656769717375767880818384,
            8687899091939496979899101102103104,
            106107108109110112113114115116117118119,
            120121122123124125126128128129130131132,
            133134135136137138139140141142143144144,
            145146147148149150150151152153154155155,
            156157158159160160161162163163164165166,
            167167168169170170171172173173174175176,
            176177178178179180181181182183183184185,
            185186187187188189189190191192192193193,
            194195195196197197198199199200201201202,
            203203204204205206206207208208209209210,
            211211212212213214214215215216217217218,
            218219219220221221222222223224224225225,
            226226227227228229229230230231231232232,
            233234234235235236236237237238238239240,
            240241241242242243243244244245245246246,
            247247248248249249250250251251252252253,
            253254254255 };

    /**
     * A faster replacement for (int)(java.lang.Math.sqrt(x)). Completely
     * accurate for x < 2147483648 (i.e. 2^31)...
     */
    static int sqrt(int x) {
        int xn;

        if (x >= 0x10000) {
            if (x >= 0x1000000) {
                if (x >= 0x10000000) {
                    if (x >= 0x40000000) {
                        xn = table[x >> 24] << 8;
                    } else {
                        xn = table[x >> 22] << 7;
                    }
                } else {
                    if (x >= 0x4000000) {
                        xn = table[x >> 20] << 6;
                    } else {
                        xn = table[x >> 18] << 5;
                    }
                }

                xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
                xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
                return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
            } else {
                if (x >= 0x100000) {
                    if (x >= 0x400000) {
                        xn = table[x >> 16] << 4;
                    } else {
                        xn = table[x >> 14] << 3;
                    }
                } else {
                    if (x >= 0x40000) {
                        xn = table[x >> 12] << 2;
                    } else {
                        xn = table[x >> 10] << 1;
                    }
                }

                xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;

                return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
            }
        } else {
            if (x >= 0x100) {
                if (x >= 0x1000) {
                    if (x >= 0x4000) {
                        xn = (table[x >> 8]) + 1;
                    } else {
                        xn = (table[x >> 6] >> 1) + 1;
                    }
                } else {
                    if (x >= 0x400) {
                        xn = (table[x >> 4] >> 2) + 1;
                    } else {
                        xn = (table[x >> 2] >> 3) + 1;
                    }
                }

                return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
            } else {
                if (x >= 0) {
                    return table[x] >> 4;
                }
            }
        }

        return -1;
    }
    public static void main(String[] args){
        System.out.println(sqrt(65));

    }
}

测试结果:8


6、最快的sqrt算法


PS:此算法非博主所写


这个算法很有名,大家可能也见过,作者是开发游戏的,图形算法中经常用到sqrt,作者才写了一个神级算法,和他那神秘的0x5f3759df,代码如下

#include <math.h>
float InvSqrt(float x)
{
 float xhalf = 0.5f*x;
 int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
 i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
 x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
 x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
 return x;
}

int main()
{
  printf("%lf",1/InvSqrt(3));

   return 0;
}


测试结果:

一起装逼!开平方的七种算法


感兴趣的朋友可以参考http://wenku.baidu.com/view/a0174fa20029bd64783e2cc0.html  是作者解释这个算法的14页论文《Fast Inverse Square Root》


7、一个与算法6相似的算法


PS:此算法非博主所写

代码如下:

#include <math.h>
float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;

    x = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}

int main()
{
  printf("%f",SquareRootFloat(3));

   return 0;
}

测试结果:

一起装逼!开平方的七种算法

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一起装逼!开平方的七种算法

原文始发于微信公众号(五分钟学算法):一起装逼!开平方的七种算法

本文由 程序员小吴 创作,采用 CC BY 3.0 CN协议 进行许可。 可自由转载、引用,但需署名作者且注明文章出处。如转载至微信公众号,请在先添加作者公众号二维码。
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