图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

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图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

转自码海,作者码海


前言

位运算在生产或算法解题中并不常见,不过如果你用得好,可以达到事半功倍的效果,而且位运算用得好,也可以极大地提升性能,如果在生产或面试中能看到使用位运算来解题,会让人眼前一亮,觉得你还是有点逼格的,巧用位运算,不仅会提升性能,还会让代码的可读性更好,达到四两拨千斤的效果,今天我们就来学学位运算在解题中的一些技巧,最后会用位运算来看看怎么解八皇后这道大 Boss 题,相信你看完肯定会有收获!

本文将会从以下几个方面来讲解位运算

  • 什么是位运算,位运算常见操作
  • 位运算使用技巧简介
  • 巧用位运算解算法题

什么是位运算,位运算常见操作

在现代计算机中所有的数据在内存中都是以二进制存在的,位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作,由于位运算直接对内存数据进行操作,无需转成十进制,因此使用位运算的处理速度是很快的。

举个简单的例子, 当我们要计算 6 & 4  的结果,在做位运算的时候首先要把 6,4 转成二进制,然后再做相应的位操作(与)。

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

基本的位运算有与、或、异或、取反、左移、右移这6种,介绍如下:

& 与:只有当两位都是 1 时结果才是 1,否则为 0 。

    0110
& 0100
-----------
0100

| 或:两位中只要有 1 位为 1 结果就是 1,两位都为 0 则结果为 0。

    0110
& 0110
-----------
0110

^ 异或:两个位相同则为 0,不同则为 1

    0110
^ 0100
-----------
0010

~ 取反:0 则变为 1,1 则变为 0

~   0110
-----------
1001

<< 左移:向左进行移位操作,高位丢弃,低位补 0

int a = 8;
a << 3;
移位前:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
移位后:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000

>> 右移:向右进行移位操作,对无符号数,高位补 0,对于有符号数,高位补符号位

unsigned int a = 8;
a >> 3;
移位前:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
移位后:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

int a = -8;
a >> 3;
移位前:1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1000
移位后:1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

位运算使用技巧简介

接下来我们就由浅入深地来学习一下使用位运算的那些黑科技

1、 判断整型的奇偶性

使用位运算操作如下

if((x & 1) == 0) {
// 偶数
} else {
// 奇数
}

这个例子相信大家都见过,只需判断整型的第一位是否是 1 即可,如果是说明是奇数,否则是偶数

2、 判断第 n 位是否设置为 1

if (x & (1<<n)) {
// 第 n 位设置为 1
}
else {
// 第 n 位设置为 1
}

在上例中我们判断第一位是否为 1,所以如果要判断第 n 位是否 1,只要把 1 左移 n 位再作与运算不就完了。

3、 将第 n 位设置为 1

y = x | (1<<n)

思路同第二步,先把 1 移到第 n 位再作或运算,这样第 n 位就肯定为 1。

4、 将第 n 位设置为 0

y = x & ~(1<<n)

先将 1 左移到 第 n 位,再对其取反,此时第 n 位为 0,其他位都为 1,这样与 x 作与运算后,x 的第 n 位肯定为 0。

5. 将第 n 位的值取反

y = x ^ (1<<n)

我们知道异或操作是两个数的每一位相同,结果为 0,否则是 1,所以现在把 1 左移到第 n 位,则如果 x 的第 n 位为 1,两数相同结果 0,如果 x 的第 n 位为 0,两数不相同,则为 1。来看个简单的例子

    01110101
^ 00100000
--------
01010101

如图示,第五位刚好取反

6、 将最右边的 1 设为 0

y = x & (x-1)

如果说上面的 5 点技巧有点无聊,那第 6 条技巧确实很有意思,也是在 leetcode 经常出现的考点,下文中大部分习题都会用到这个知识点,务必要谨记!掌握这个很重要,有啥用呢,比如我要统计 1 的位数有几个,只要写个如下循环即可,不断地将 x 最右边的 1 置为 0,最后当值为 0 时统计就结束了。

count = 0  
while(x) {
x = x & (x - 1);
count++;
}

先介绍这么多吧,如果大家对其他的位运算技巧感兴趣可以看看文末的参考链接

巧用位运算解算法题

接下来我们看看位运算在算法题中的应用。

1、 高频面试题:老鼠试毒

有 8 个一模一样的瓶子,其中有 7 瓶是普通的水,有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在,你只有 3 只小白鼠和一星期的时间,如何检验出哪个瓶子里有毒药?

解题步骤如下:

1、 把这 8 个瓶子从 0 到 7 进行编号,用二进制表示如下

000
001
010
011
100
101
110
111

2、 将 0 到 7 编号中第一位为 1 的所有瓶子(即 1,3,5,7)的水混在一起给老鼠 1 吃,第二位值为 1 的所有瓶子(即2,3,6,7)的水混在一起给老鼠 2 吃, 第三位值为 1 的所有瓶子(4,5,6,7)的水混在一起给老鼠 3 吃,现在假设老鼠 1,3 死了,那么有毒的瓶子编号中第 1,3 位肯定为 1,老鼠 2 没死,则有毒的瓶子编号中第  2 位肯定为 0,得到值 101 ,对应的编号是 5, 也就是第五瓶的水有毒。

这道题及其相关的变种在面试中出现地比较频繁,比如我现在把 8 瓶水换成 1000 瓶,问你至少需要几只老鼠才能测出有毒的瓶子,有了上述的思路相信应该不难,几只老鼠就相当于几个进制位,显然 2^10 = 1024 > 1000,即 10 只老鼠即可测出来。

2、 leetcode 232

给定一个数,判断它是否是可以用 2 的幂次方表示,可以返回 true,不可以返回 false,比如 8 = 2^3, 说明可以用 2 的幂次方表示,返回 true,9 不可以,所以返回 false。

解题分析:这题常规解法是做个循环不断地乘以 2 ,看下是否等于给定的值,如果等于说明是 2 的幂次方,否则如果不断累乘 2 后大于给定的值,说明不能用 2 的幂次方表示,时间复杂度是所做的累乘的次数,即 2^n >= 给定的值中的 n。

那是否有更快的解法呢?

上文的介绍中其实我们已经埋下伏笔了,没错用 x & (x-1),首先我们要发现能用 2 的幂次方表示的数的特点:它的所有位中有且仅有一位为 1,如

00001        2^0 = 1
00010 2^1 = 2
00100 2^2 = 4
01000 2^3 = 8
10000 2^3 = 16

如图示,所有 2 的幂次方最多只有一位为 1

明白了这一点, 我们的思路就简单了,由于符合 2 的幂次方的数只有一位为 1,x & (x-1) 是把最后一位 1 置为 0,所以只要做一次 x & (x-1) 运算,看它的值是否等于 0 即可,如果是 0 说明它可以用 2 的幂次方表示,否则不可以,代码如下:

if(x&(x-1)) { //使用与运算判断一个数是否是2的幂次方
printf("%d不是2的幂次方!n", num);
} else {
printf("%d是2的%d次方!n", num, log2(num));
}

只用一行代码即可搞定,方便了很多!

3、 leetcode 232

给定一个非负整数 num. 对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i, 计算其二进制数中 1 的数目并将它们作为数组返回。输入: 5 输出: [0,1,1,2,1,2]

这题的常规解法相信大家都能猜到,就是从 0 到 num 循环一遍,求出每个数字 i  中 1 的数目。

如果用位运算怎么做呢,先来看下解法,然后我们再来分析为啥这样写,非常巧妙!

Python 代码

vector<int> countBits(int num) {
vector<int> bits(num+1, 0);
for (int i = 1; i<= num; i++) {
bits[i] += bits[i & (i-1)] + 1;
}
}

Java 代码

public static int[] countBits(int num) {
int[] bits = new int[num+1];
Arrays.fill(bits, 0);

for (int i = 1; i <= num; i++) {
bits[i] = bits[i & (i-1)] + 1;
}
return bits;
}

最关键的代码看这一行

bits[i] += bits[i & (i-1)] + 1;

这行代码是啥意思呢,i & (i-1) 是把 i 的最后一个值为 1 的位设为 0,不难发现整数「i & (i-1)」  中 1 的位数比 i 中 1 的位数少一个 ,所以要加 1(即 bits[i & (i-1)] + 1)。非常巧妙,这样从 1 开始走一遍循环即可,中间不要做任何针对变量 i  的 1 的个数的计算,只不过付出了一个 bits 数组的代价。这里也是利用了以空间换时间的思想。

4、 利用位运算来解八皇后问题

接下来我们来看看终级 Boss 题,如何用位运算来解八皇后问题,解题中运用到了非常多的位运算技巧,相信你学完会收获不少。

在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法

举个简单的下图所示的例子,如果在棋盘上放置一个皇后,则与这个皇后同一行,同一列,且皇后所在斜线经过的格子不能再放其他皇后。

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!如图示,在其中任意一行放置一个皇后,则与此皇后同行,同列,同对角线的都不允许再放其他皇后,图中蓝色区块不允许放其他皇后。

一般我们用回溯法解八皇后。这里简单介绍一下啥是回溯法。

在第一行从左到右先选择一个位置放置皇后,由于第一行放了皇后,第二行可放皇后的位置受到了限制(下图蓝色区块表示对应行的格子不能放皇后)图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

如图示,第二行放皇后的位置只能从第三个格子开始选

第二行我们选第三个格子放皇后,选完开始在第三行选,第三方可选的位置也受到了第一,二行皇后所放位置的影响

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!如图示,第三行只能从第五个格子开始放置皇后

同理,第三,四,五行都从左到右选择符合条件的的格子放置皇后,选完后问题来了,第六行所在行没有可选的位置了!如图示

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

怎么办呢,回溯!重新摆放第五行的皇后,将其放到第八格上

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

重新摆放后发现第六行还是没有符合条件的格子,咋办,我们知道第六行可摆放皇后的格子受第五行影响,而第五行受第四行摆放皇后位置的影响的,所以回溯到第四行,将皇后位置摆放到当前行的其他位置(第七格),再接着往下放 5,6,7,8 行的皇后。。。,只要不满足条件,改变上一层的的条件重新来,上一层调整后还是不符合条件,再调整上上层的。。。,调整完后重新往下递归选择,直到找到符合条件的,找到之后再在第一层换一个位置选皇后递归往下层选择执行,直到找到所有的解,这种不满足条件就回退上层调整再试的思想就是回溯法,可以看到回溯法一般是用递归实现的。

回溯算法有不少变种,这里我们重点介绍使用位运算的回溯算法,它是所有解法中最高效的!如果在面试中能使用位运算来解回溯算法,绝对会让面试官给你个大大的赞!

接下来是重点了,怎么用位运算来求解。

在以上回溯法的分析中,我们不难发现,在八皇后问题中,问题的关键是找出行可放皇后的格子。找到之后问题就解决了 90%,所以接下来我们就来看看怎么找这些可用的格子。

假设我们要求解第三行可放皇后的格子(说明一二行的皇后已放好了)那么第三行可放皇后的位置受到哪些条件的限制呢。显然在第一二行已放皇后的格子所在的列,左斜线,右斜线对应的方格都不能放皇后,如图示:

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

我们以 column 来记录所有上方行已放置的皇后导致当前行格子不可用的集合,所在列如果放了皇后,则当前行格子对应的位置为 1,否则为 0,同理,以 pie(撇,左斜线) 记录所有已放置的皇后左斜方向导致当前行格子不可用的集合, na(捺,右斜线) 表示所有已放置的皇后右斜方向导致当前行不可用的集合。则对于第三行来说我们有:

column = 10010000 (上图中的第一个图,第 1,4 列放了皇后,所以 1,4 位置为 1,其他位置为 0)
pie = 00100000 (上图中的第二个图,左斜线经过第三行的第三个方格,所以第三位为 1)
na = 00101000 (上图中的第三个图,右斜线经过第三行的第三, 五个方格,所以第三,五位为 1)

将这三个变量作或运算得到结果如下

    10010000
| 00100000
| 00101000
-----------------------
10111000

也就是说对于第三层来说第 1,3,4,5 个格子不能放皇后。如图示

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

于是可知 column | pie | na 得到的结果中值为 0 的代表当前行对应的格子可放皇后, 1 代表不能放,但我们想改成 1 代表格子可放皇后, 0 代表不可放皇后,毕竟这样更符合我们的思维方式,怎么办,取反不就行了,于是我们有~(column| pie | na)。

问题来了,这样取反是有问题的,因为这三个变量都是定义的 int 型,为 32 位,取反之后高位的 0 全部变成了 1,而我们只想保留低 8 位(因为是 8 皇后),想把高位都置为 0,怎么办,这里就要用到位运算的黑科技了

~(column | pie | na) & ((1 << 8)-1)

后面的的 ((1<< 8) -1) 表示先把 1 往左移 8 位,值为 100000000,再减 1 ,则低 8 位全部为 1,高位全部为 0!(即 0011111111)再作与运算,即可保留低 8 位,去除高位。

费了这么大的劲,我们终于把当前行可放皇后的格子都找出来了(所有位值为 1 的格子可放置皇后)。接下来我们只要做个循环,遍历所有位为 1 的格子,每次取出可用格子放上皇后,再找下一层可放置皇后的格子,依此递归下去即可,直到所有行都遍历完毕(递归的终止条件)。

还有一个问题,已知当前行的 column,pie,na,怎么确定下一行的 column,pie,na 的值(毕竟选完当前行的皇后后,要确定下一行的可用格子,而下一行的可用格子依赖于 column,pie,na 的值)

上文可知,我们已经选出了当前行可用的格子(相应位为 1 对应的格子可用),假设我们在当前行选择了其中一个格子来放置皇后,此位置记为 p(如果是当前行的最后一个格子最后一个格子,则值为 1,如果放在倒数第二个,值为 10,倒数第三个则为 100,依此类推),则对于下一行来说,显然 column =  column | p

那么 pie 呢,仔细看下图,显然应该为 (pie | p) << 1, 左斜线往下一行的格子延展时,相当于左移一位,

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

如图示:下一行的 pie 显然为 (pie | p) << 1。

同理 下一行的 na 为 (na | p) >> 1。

有了以上详细地解析,我们就可以写出伪代码了

void queenSettle(row, colomn,pie,na) {
N = 8; // 8皇后
if (row >= N) {
// 遍历到最后一行说明已经找到符合的条件了
count++;return
}

// 取出当前行可放置皇后的格子
bits = (~(colomn|pie|na)) & ((1 << N)-1)

while(bits > 0) {
// 每次从当前行可用的格子中取出最右边位为 1 的格子放置皇后
            p = bits & -bits

            // 紧接着在下一行继续放皇后
            queenSettle(row+1, colomn | p, (pie|p) << 1, (na | p) >> 1)

            // 当前行最右边格子已经选完了,将其置成 0,代表这个格子已遍历过
            bits = bits & (bits-1)
}
}

一开始传入 queenSettle(0,0,0,0) 这样即可得到最终的解。伪代码写得很清楚了,相信用相关语言不难实现,这里就留给大家作个练习吧。

总结

本文带大家由浅入深地完成了位运算的学习,掌握好位运算不仅仅是为了提升逼格,还能极大地提升效率,位运算也广泛地应用于代码编写中,运用得当能极大地简化代码。


END


图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!
● 我这些年从来没有用过算法,除了出去面试的时候
● 摸鱼神器,千万别让老板看见!
● 面试了15位来自985/211高校的2020届研究生,熬夜赶出了这篇文章
为啥SQL加了索引会使数据查找更快?

图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

点“在看你懂得 

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原文始发于微信公众号(五分钟学算法):图解算法:摘取位运算的王冠「八皇后问题」!

本文由 程序员小吴 创作,采用 CC BY 3.0 CN协议 进行许可。 可自由转载、引用,但需署名作者且注明文章出处。如转载至微信公众号,请在先添加作者公众号二维码。
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