漫画:什么是堆排序?

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在上一篇五分钟学算法漫画中,小灰介绍了 二叉堆 这样一种强大的数据结构:


五分钟学算法漫画:什么是二叉堆?(修正版)


那么,这个二叉堆怎样来使用呢?我们这一期将会详细讲述。



五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



让我们回顾一下二叉堆和最大堆的特性:


1.二叉堆本质上是一种完全二叉树

2.最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素


当我们删除一个最大堆的堆顶(并不是完全删除,而是替换到最后面),经过自我调节,第二大的元素就会被交换上来,成为最大堆的新堆顶。


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



正如上图所示,当我们删除值为10的堆顶节点,经过调节,值为9的新节点就会顶替上来;当我们删除值为9的堆顶节点,经过调节,值为8的新节点就会顶替上来…….


由于二叉堆的这个特性,我们每一次删除旧堆顶,调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么我们只要反复删除堆顶,反复调节二叉堆,所得到的集合就成为了一个有序集合,过程如下:



删除节点9,节点8成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



删除节点8,节点7成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



删除节点7,节点6成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



删除节点6,节点5成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



删除节点5,节点4成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



删除节点4,节点3成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



删除节点3,节点2成为新堆顶:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



到此为止,我们原本的最大堆已经变成了一个从小到大的有序集合。之前说过二叉堆实际存储在数组当中,数组中的元素排列如下:


五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



由此,我们可以归纳出堆排序算法的步骤:


1. 把无序数组构建成二叉堆。

2. 循环删除堆顶元素,移到集合尾部,调节堆产生新的堆顶。



    五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



    五分钟学算法漫画:什么是堆排序?



    public class HeapSort {

    1. /**

    2. * 下沉调整

    3. * @param array     待调整的堆

    4. * @param parentIndex    要下沉的父节点

    5. * @param parentIndex    堆的有效大小

    6. */

    7. public static void downAdjust(int[] array, int parentIndex, int length) {

    8.    // temp保存父节点值,用于最后的赋值

    9.    int temp = array[parentIndex];

    10.    int childIndex = 2 * parentIndex + 1;

    11.    while (childIndex < length) {

    12.        // 如果有右孩子,且右孩子大于左孩子的值,则定位到右孩子

    13.        if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] > array[childIndex]) {

    14.            childIndex++;

    15.        }

    16.        // 如果父节点小于任何一个孩子的值,直接跳出

    17.        if (temp >= array[childIndex])

    18.            break;

    19.        //无需真正交换,单向赋值即可

    20.        array[parentIndex] = array[childIndex];

    21.        parentIndex = childIndex;

    22.        childIndex = 2 * childIndex + 1;

    23.    }

    24.    array[parentIndex] = temp;

    25. }


    26. /**

    27. * 堆排序

    28. * @param array     待调整的堆

    29. */

    30. public static void heapSort(int[] array) {

    31.    // 1.把无序数组构建成二叉堆。

         for (int i = (array.length-2)/
      2; i >= 0; i--) {

    32.        downAdjust(array, i, array.length);

    33.    }

    34.    System.out.println(Arrays.toString(array));

    35.    // 2.循环删除堆顶元素,移到集合尾部,调节堆产生新的堆顶。

    36.    for (int i = array.length - 1; i > 0; i--) {

    37.        // 最后一个元素和第一元素进行交换

    38.        int temp = array[i];

    39.        array[i] = array[0];

    40.        array[0] = temp;

    41.        // 下沉调整最大堆

    42.        downAdjust(array, 0, i);

    43.    }

    44. }


    45. public static void main(String[] args) {

    46.    int[] arr = new int[] {1,3,2,6,5,7,8,9,10,0};

    47.    heapSort(arr);

    48.    System.out.println(Arrays.toString(arr));

    49. }

    }


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    二叉堆的节点下沉调整(downAdjust 方法)是堆排序算法的基础,这个调节操作本身的时间复杂度是多少呢?


    假设二叉堆总共有n个元素,那么下沉调整的最坏时间复杂度就等同于二叉堆的高度,也就是O(logn)


    我们再来回顾一下堆排序算法的步骤:


    1. 把无序数组构建成二叉堆。

    2. 循环删除堆顶元素,移到集合尾部,调节堆产生新的堆顶。


    第一步,把无序数组构建成二叉堆,需要进行n/2次循环。每次循环调用一次 downAdjust 方法,所以第一步的计算规模是  n/2 * logn,时间复杂度 O(nlogn)


    第二步,需要进行n-1次循环。每次循环调用一次 downAdjust 方法,所以第二步的计算规模是 (n-1) * logn ,时间复杂度 O(nlogn)


    两个步骤是并列关系,所以整体的时间复杂度同样是 O(nlogn)



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