1 概念

  分治算法,根据字面意思解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。

2 算法策略

  分治策略:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
  在平时日常生活中,分治思想也是随处可见的。例如:当我们打牌时,在进行洗牌时,若牌的数目较多,一个人洗不过来,则会将牌进行分堆,单独洗一小堆牌是相对容易的,每一堆牌都洗完之后再放到一起,则完成洗牌过程。

3 使用场景

  (1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
  (2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
  (3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
  (4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题。

4 基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤:
  (1)分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题。
  (2)求解:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题。
  (3)合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

5 伪代码

    Divide-and-Conquer(P)

    if |P| ≤ n0

        then return(ADHOC(P))

    将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

        for i←1 to k

            do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

        T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题

    return(T)

  其中,|P|表示问题P的规模,n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

6 典型案例

6.1 二分查找

  二分查找是典型的分治算法的应用。需要注意的是,二分查找的前提是查找的数列是有序的。

算法流程:
  (1)选择一个标志i将集合分为二个子集合。
  (2)判断标志L(i)是否能与要查找的值des相等,相等则直接返回。
  (3)否则判断L(i)与des的大小。
  (4)基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找。
  (5)递归继续上面的步骤。

  通过二分查找的流程可以看出,二分查找是将原有序数列划分为左右两个子序列,然后在对两个子序列中的其中一个在进行划分,直至查找成功。

代码实现:

#include

#include

int k;

int binarysearch(int a[],int x,int low,int high)//a表示需要二分的有序数组(升序),x表示需要查找的数字,low,high表示高低位

{

    if(low>high)

    {

        return -1;//没有找到

    }

    int mid=(low+high)/2;

    if(x==a[mid])//找到x

    {

        k=mid;

        return x;

    }

    else if(x>a[mid]) //x在后半部分

    {

        binarysearch(a,x,mid+1,high);//在后半部分继续二分查找

    }

    else//x在前半部分

    {

        binarysearch(a,x,low,mid-1);

    }

}

int main()

{

    int a[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

    printf("请输入需要查找的正数字:\n");

    int x;

    scanf("%d",&x);

    int r=binarysearch(a,x,0,9);

    if(r==-1)

    {

        printf("没有查到\n");

    }

    else

    {

        printf("查到了,在数列的第%d个位置上\n",k+1);

    }

    return 0;

}

6.2 全排列问题

问题描述:
  有1,2,3,4个数,问你有多少种排列方法,并输出排列。
问题分析:
  若采用分治思想进行求解,首先需要把大问题分解成很多的子问题,大问题是所有的排列方法。那么我们分解得到的小问题就是以1开头的排列,以2开头的排列,以3开头的排列,以4开头的排列。现在这些问题有能继续分解,比如以1开头的排列中,只确定了1的位置,没有确定2,3,4的位置,把2,3,4三个又看成大问题继续分解,2做第二个,3做第二个,或者4做第二个。一直分解下去,直到分解成的子问题只有一个数字的时候,不能再分解。只有一个数的序列只有一种排列方式,则子问题求解容易的多。
代码实现:

public class Test {

    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = { 1, 2, 3, 4 };

        fullSort(arr, 0, arr.length - 1);

    }

    public static void fullSort(int[] arr, int start, int end) {

        // 递归终止条件

        if (start == end) {

            for (int i : arr) {

                System.out.print(i);

            }

            System.out.println();

            return;

        }

        for (int i = start; i <= end; i++) {

            swap(arr, i, start);

            fullSort(arr, start + 1, end);

            swap(arr, i, start);

        }

    }

    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {

        int tmp = arr[i];

        arr[i] = arr[j];

        arr[j] = tmp;

    }

}

6.3 归并排序

  归并排序:归并(Merge)排序法是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表,即把待排序序列分为若干个子序列,每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。 即先划分为两个部分,最后进行合并。

归并排序

伪代码:

算法 MergeSort(A, p, r)

输入:数组A[p...r]

输出:有序数组A

if(p < r)

    then q <- (p+r)/2//折半划分

        MergeSort(A, p ,q)//子问题1

        MergeSort(A, p ,q)//子问题2

        Merge(A, p ,q, r)//合并求解

代码实现:

public class MergeSort {

    //两路归并算法,两个排好序的子序列合并为一个子序列

    public void merge(int []a,int left,int mid,int right){

        int []tmp=new int[a.length];//辅助数组

        int p1=left,p2=mid+1,k=left;//p1、p2是检测指针,k是存放指针

        while(p1<=mid && p2<=right){

            if(a[p1]<=a[p2])

                tmp[k++]=a[p1++];

            else

                tmp[k++]=a[p2++];

        }

        while(p1<=mid) tmp[k++]=a[p1++];//如果第一个序列未检测完,直接将后面所有元素加到合并的序列中

        while(p2<=right) tmp[k++]=a[p2++];//同上

        //复制回原素组

        for (int i = left; i <=right; i++) 

            a[i]=tmp[i];

    }

    public void mergeSort(int [] a,int start,int end){

        if(start

6.4 快速排序

  快速排序的基本思想:当前待排序的无序区为A[low..high],利用分治法可将快速排序的基本思想描述为:
(1)分解:
  在A[low..high]中任选一个记录作为基准(pivot),以此基准将当前无序区划分为左、右两个较小的子区间R[low..pivotpos-1)和R[pivotpos+1..high],并使左边子区间中所有记录的关键字均小于等于基准记录(不妨记为pivot)的关键字pivot.key,右边的子区间中所有记录的关键字均大于等于pivot.key,而基准记录pivot则位于正确的位置(pivotpos)上,它无须参加后续的排序。

(2)求解:
  通过递归调用快速排序对左、右子区间R[low..pivotpos-1]和R[pivotpos+1..high]快速排序。
(3)合并:
  因为当"求解"步骤中的两个递归调用结束时,其左、右两个子区间已有序。对快速排序而言,"组合"步骤无须做什么,可看作是空操作。

快速排序

快速排序

代码实现:

#include 

using namespace std;

void QuickSort(int arr[], int low, int high){

    if (high <= low) return;

    int i = low;

    int j = high + 1;

    int key = arr[low];

    while (true)

    {

        /*从左向右找比key大的值*/

        while (arr[++i] < key)

        {

            if (i == high){

                break;

            }

        }

        /*从右向左找比key小的值*/

        while (arr[--j] > key)

        {

            if (j == low){

                break;

            }

        }

        if (i >= j) break;

        /*交换i,j对应的值*/

        int temp = arr[i];

        arr[i] = arr[j];

        arr[j] = temp;

    }

    /*中枢值与j对应值交换*/

    int temp = arr[low];

    arr[low] = arr[j];

    arr[j] = temp;

    QuickSort(arr, low, j - 1);

    QuickSort(arr, j + 1, high);

}

6.5 汉诺塔

问题描述:
  有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子,且碟子是按照由小到大向下叠放。每次移动一块碟子,且小的只能叠在大的上面,把所有碟子从A杆全部移到C杆上。
img

问题分析:
  对圆盘编号1~n,数字大的圆盘比数字小的圆盘体积大。并且引入起始塔,中转塔,目标塔的概念,在算法运行的时候,这3个塔的身份可能会互相变换。则汉诺塔问题的求解思想如下:
  (1)如果现在在塔A上面只有1个圆盘,那么直接把圆盘移动到塔C即可;
  (2)如果现在在塔A上面有2个圆盘,那么先把圆盘1从塔A移动到塔B,再把圆盘2从塔A移动到塔C,最后把圆盘1从塔B移动到塔C;
  (3).……
  (4)如果塔A有n个圆盘,那么需要先把圆盘n之前的(圆盘n-1~ 圆盘1)从塔A先移动到塔B,再把圆盘n从塔A移动到塔C,最后把放在塔B的(圆盘n-1~圆盘1)从塔B移动到塔C。
  可以看出,汉诺塔问题的求解同样运用了分治算法的思想。

代码实现:

    public static void hanoi(int n, String sourceTower, String tempTower, String targetTower) {

        if (n == 1) {

            //如果只有一个盘子1,那么直接将其从sourceTower移动到targetTower

            move(n, sourceTower, targetTower);

        } else {

            //将(盘子n-1~盘子1)由sourceTower经过targetTower移动到tempTower

            hanoi(n - 1, sourceTower, targetTower, tempTower);

            //移动盘子n由sourceTower移动到targetTower

            move(n, sourceTower, targetTower);

            //把之前移动到tempTower的(盘子n-1~盘子1),由tempTower经过sourceTower移动到targetTower

            hanoi(n - 1, tempTower, sourceTower, targetTower);

        }

    }

    //盘子n的从sourceTower->targetTower的移动

    private static void move(int n, String sourceTower, String targetTower) {

        System.out.println("第" + n + "号盘子 move:" + sourceTower + "--->" + targetTower);

    }

7 总结分析

  分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
  T(n)= k T(n/m)+f(n)