1 前言
树是数据结构中的重中之重，尤其以各类二叉树为学习的难点。本文将详细讲述树的基本概念以及树构造和遍历，为后续深入学习做好基础。
2 概念
2.1 节点
节点：是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。
2.2 树节点
本系列文章中提及的节点专指树的节点。例如：节点A表示为：
树节点A
3 树
3.1 定义
树（Tree）是n（n>=0)个节点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；
（2）当n>1时，其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、……、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
此外，树的定义还需要强调以下两点：
（3）n>0时根节点是唯一的，不可能存在多个根节点，数据结构中的树只能有一个根节点。
（4）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
例如：图3.1中所示的树为一棵有10个节点的一般树。
图3.1 一般树
由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用。
3.2 节点的度
定义：节点拥有的子树数目称为节点的度。例如：图3.2中标注了图3.1所示树的各个节点的度。
图3.2 节点的度
3.3 节点关系
节点子树的根节点为该节点的孩子节点。相应该节点称为孩子节点的双亲节点。图3.2中，A为B的双亲节点，B为A的孩子节点。
同一个双亲节点的孩子节点之间互称兄弟节点。图3.2中，B与C互为兄弟节点，GHI互为兄弟节点，EF互为兄弟节点。
3.4 节点层次
从根节点开始，根节点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。例如：图3.4表示了图3.1所示树的层次关系
图3.4 节点层次
3.5 树的深度
树中节点的最大层次数称为树的深度或高度。例如：图3.1所示树的深度为4。
4 二叉树
4.1 定义
二叉树是n(n>=0)个节点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树组成。
图4.1展示了一棵一般二叉树：
图4.1 一般二叉树
4.2 二叉树特点
由二叉树的定义，以及图中所示的二叉树的分析可以得出二叉树具有以下几个特点：
（1）每个节点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的节点。
（2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
（3）即使树中某节点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。
4.3 二叉树性质
（1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
（2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
（3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
（4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
（5）若对含 n 个节点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的节点有如下特性：
（5）- 1，若 i=1，则该节点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的节点为其双亲节点;
（5）- 2，若 2i>n，则该节点无左孩子， 否则，编号为 2i 的节点为其左孩子节点；
（5）- 3，若 2i+1>n，则该节点无右孩子节点， 否则，编号为2i+1 的节点为其右孩子节点。
4.4 斜树
斜树：所有的节点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有节点都是只有右子树的二叉树叫右斜树，这两者统称为斜树。
图4.4.1 左斜树
图4.4.2 右斜树
4.5 满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
（1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
（2）非叶子节点的度一定是2。
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子节点数最多。
图4.5 满二叉树
4.6 完全二叉树
完全二叉树：对一颗具有n个节点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。 图4.6为一棵完全二叉树
图4.6 完全二叉树
完全二叉树特点：
（1）叶子节点只能出现在最下层和次下层。
（2）最下层的叶子节点集中在树的左部。
（3）倒数第二层若存在叶子节点，一定在右部连续位置。
（4）如果节点度为1，则该节点只有左孩子，即没有右子树。
（5）同样节点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。
4.7 二叉树的存储结构
（1）顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的节点，并且节点的存储位置，就是数组的下标索引。
图4.6 完全二叉树
例如：图4.6所示的一棵完全二叉树采用顺序存储方式，如图4.7.1表示：
图4.7.1 顺序存储
由图4.7.1可以看出，当二叉树为完全二叉树时，节点数刚好填满数组。那么当二叉树不为完全二叉树时，采用顺序存储形式如何呢？例如：对于图4.7.2描述的二叉树：
图4.7.2
其中，未填充节点表示节点不存在。那么图4.7.2所示的二叉树的顺序存储结构如图4.7.3所示：
图4.7.3
其中，∧表示数组中此位置没有存储节点。此时可以发现，顺序存储结构中已经出现了空间浪费的情况。
那么对于图4.4.2所示的右斜树极端情况对应的顺序存储结构如图4.7.4所示：
图4.7.4
由图4.7.4可以看出，对于这种右斜树极端情况，采用顺序存储的方式是十分浪费空间的。因此，顺序存储一般适用于完全二叉树。
（2）二叉链表
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个节点最多有两个孩子。因此，可以将节点数据结构定义为一个数据和两个指针域。表示方式如图4.7.5所示：
图4.7.5
定义节点代码：
typedef struct BiTNode{
TElemType data;//数据
struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree; 则图4.6所示的完全二叉树可以采用图4.7.6表示。
图4.7.6
图4.7.6中采用链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。
5 二叉树遍历
5.1 定义
二叉树的遍历是指从二叉树的根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使得每个节点被访问一次，且仅被访问一次。按照二叉树的访问次序，可以将二叉树遍历分为四种：
（1）前序遍历
（2）中序遍历
（3）后序遍历
（4）层序遍历
5.2 前序遍历
前序遍历，通俗的说就是从二叉树的根节点出发，当第一次到达节点时就输出节点数据，按照先向左在向右的方向访问。
图5.2
例如：图5.2所示二叉树采用前序遍历方式访问如下：
（1）从根节点出发，则第一次到达节点A，故输出A;
（2）继续向左访问，第一次访问节点B，故输出B；
（3）按照同样规则，输出D，输出H；
（4）当到达叶子节点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D
（5）向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I；
（6）I为叶子节点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，
（7）访问B右子树，第一次到达E，故输出E；
（8）访问E左子树，故输出J；
（9）按照同样的访问规则，继续输出C、F、G；
则图5.2所示二叉树的前序遍历输出为：
A-B-D-H-I-E-J-C-F-G
5.3 中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根节点出发，当第二次到达节点时就输出节点数据，按照先向左在向右的方向访问。
例如：图5.2所示二叉树中序访问如下：
（1）从根节点出发，则第一次到达节点A，不输出A；
（2）继续向左访问，第一次访问节点B，不输出B；
（3）继续到达D，H，到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H；
（4）H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D；
（5）由D返回至B，第二次到达B，故输出B；
（6）按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G；
则5.2所示二叉树的中序遍历输出为：
H-D-I-B-J-E-A-F-C-G
5.4 后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根节点出发，当第三次到达节点时就输出节点数据，按照先向左在向右的方向访问。
例如：图5.2所示二叉树后序访问如下：
（1）从根节点出发，则第一次到达节点A，不输出A；
（2）继续向左访问，第一次访问节点B，不输出B；
（3）继续到达D，H，到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H；
（4）H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H；
（5）由H返回至D，第二次到达D，不输出D；
（6）继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I；
（7）返回至D，此时第三次到达D，故输出D；
（8）按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A；
则图5.2所示二叉树的后序遍历输出为：
H-I-D-J-E-B-F-G-C-A
虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
5.5 遍历程序
递归实现代码如下：
/*二叉树的前序遍历递归算法*/
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
printf("%c", T->data); /*显示节点数据，可以更改为其他对节点操作*/
PreOrderTraverse(T->lchild); /*再先序遍历左子树*/
PreOrderTraverse(T->rchild); /*最后先序遍历右子树*/
}
/*二叉树的中序遍历递归算法*/
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
InOrderTraverse(T->lchild); /*中序遍历左子树*/
printf("%c", T->data); /*显示节点数据，可以更改为其他对节点操作*/
InOrderTraverse(T->rchild); /*最后中序遍历右子树*/
}
/*二叉树的后序遍历递归算法*/
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
if(T==NULL)
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); /*先后序遍历左子树*/
PostOrderTraverse(T->rchild); /*再后续遍历右子树*/
printf("%c", T->data); /*显示节点数据，可以更改为其他对节点操作*/
}5.6 层次遍历
层次遍历就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。针对图5.2所示二叉树的层次遍历结果为：
A-B-C-D-E-F-G-H-I-J
5.7 考点
（1）已知前序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
例题：若一棵二叉树的前序遍历为ABCDEF，中序遍历为CBAEDF，请画出这棵二叉树。
分析：前序遍历第一个输出节点为根节点，故A为根节点。早中序遍历中根节点处于左右子树节点中间，故节点A的左子树中节点有CB，右子树中节点有EDF。
如图5.7.1所示：
图5.7.1
按照同样的分析方法，对A的左右子树进行划分，最后得出二叉树的形态如图5.7.2所示：
图5.7.2
（2）已知后序遍历序列和中序遍历序列，确定一棵二叉树。
后序遍历中最后访问的为根节点，因此可以按照上述同样的方法，找到根节点后分成两棵子树，进而继续找到子树的根节点，一步步确定二叉树的形态。
注：已知前序遍历序列和后序遍历序列，不可以唯一确定一棵二叉树。
6 结语
通过上述的介绍，已经对于二叉树有了初步的认识。本篇文章介绍的基础知识希望读者能够牢牢掌握，并且能够在脑海中建立一棵二叉树的模型，为后续学习打好基础。
